DÍA 2: AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

Flujo Vectorial y el Teorema de la Divergencia

Conocimientos Básicos Necesarios:

1. Flujo de un Campo Vectorial ($\Phi$)

Imagina un campo de velocidades de un río ($\vec{F}$). El flujo es la cantidad de agua que atraviesa una red (superficie $S$) por segundo. Se calcula multiplicando el campo por el vector normal al área ($d\vec{S}$).

$$ \Phi = \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} $$

2. El Teorema de la Divergencia (Gauss-Ostrogradsky)

Este teorema es un "salvavidas" en exámenes. Establece que el flujo total que sale a través de una superficie cerrada (como la cáscara de un huevo) es igual a la integral de volumen de la divergencia del campo en su interior.

$$ \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \vec{F}) dV $$

Ejercicio Tipo Examen

Enunciado: Dado el campo vectorial $\vec{F}(x,y,z) = (x + y)\hat{i} + (y + z)\hat{j} + (z + x)\hat{k}$, calcula el flujo neto que sale a través de la superficie exterior de una esfera de radio $R=2$ centrada en el origen, utilizando el Teorema de la Divergencia.

Paso 1: Calcular la Divergencia ($\nabla \cdot \vec{F}$)

Derivamos cada componente respecto a su variable:

Por tanto, $\nabla \cdot \vec{F} = 1 + 1 + 1 = 3$. Es constante en todo el espacio.

Paso 2: Aplicar el Teorema

Sustituimos la divergencia en la integral de volumen. Como la divergencia es constante (3), la podemos sacar de la integral:

$$ \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_V (3) dV = 3 \iiint_V dV $$

Paso 3: Calcular el Volumen y Resolver

La integral $\iiint_V dV$ es simplemente el volumen de la esfera ($V = \frac{4}{3}\pi R^3$). Para $R=2$:

$$ \text{Volumen} = \frac{4}{3}\pi (2)^3 = \frac{32\pi}{3} $$ $$ \text{Flujo Neto} = 3 \times \left( \frac{32\pi}{3} \right) = 32\pi $$

Fíjate cómo hemos evitado hacer una compleja integral de superficie gracias a la divergencia.

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