DÍA 3: AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
El Operador Rotacional
Conocimientos Básicos Necesarios:
- Cálculo de determinantes 3x3.
- Derivadas parciales.
- Operador Nabla $\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})$.
El Producto Vectorial $\nabla \times \vec{F}$
Mientras que la divergencia es un producto escalar ($\nabla \cdot \vec{F}$), el rotacional es el producto vectorial cruzado entre Nabla y el campo vectorial. El resultado es otro vector.
$$ \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} $$
Si $\nabla \times \vec{F} = \vec{0}$ en todo el espacio, el campo se llama Irrotacional o Conservativo (como el campo gravitatorio o el eléctrico estático).
Ejercicio Tipo Examen
Enunciado: Calcula el rotacional del campo vectorial $\vec{F}(x,y,z) = (-y)\hat{i} + (x)\hat{j} + (0)\hat{k}$. ¿Es un campo conservativo?
Paso 1: Plantear el determinante
$$ \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ -y & x & 0 \end{vmatrix} $$
Paso 2: Desarrollar por la primera fila
- Componente $\hat{i}$: $\frac{\partial}{\partial y}(0) - \frac{\partial}{\partial z}(x) = 0 - 0 = 0$
- Componente $\hat{j}$: $- \left[ \frac{\partial}{\partial x}(0) - \frac{\partial}{\partial z}(-y) \right] = -[0 - 0] = 0$
- Componente $\hat{k}$: $\frac{\partial}{\partial x}(x) - \frac{\partial}{\partial y}(-y) = 1 - (-1) = 2$
Conclusión:
$$ \nabla \times \vec{F} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k} = 2\hat{k} $$
Como el resultado no es el vector nulo $\vec{0}$, el campo no es conservativo (es un campo que gira puramente alrededor del eje Z).