DÍA 3: MECÁNICA DE FLUIDOS

Cinemática: Vorticidad y Flujo Irrotacional

Conocimientos Básicos Necesarios:

Campo de velocidades $\vec{V} = u\hat{i} + v\hat{j} + w\hat{k}$.
Cálculo del rotacional (visto en Matemáticas).

1. El Vector Vorticidad ($\vec{\zeta}$)

La vorticidad mide la rotación microscópica de las partículas de fluido. Matemáticamente, es exactamente el doble de la velocidad angular ($\vec{\omega}$) de la partícula, y se calcula como el rotacional de la velocidad.

\vec{\zeta} = \nabla \times \vec{V} = 2\vec{\omega}

2. Flujo Irrotacional

Si la vorticidad es cero ($\nabla \times \vec{V} = \vec{0}$) en todo el campo, decimos que el flujo es irrotacional. Esto simplifica enormemente las ecuaciones de Navier-Stokes y es la base de la aerodinámica ideal (flujo potencial).

Ejercicio Tipo Examen

Enunciado: Se observa un flujo bidimensional cuyo campo de velocidades es $\vec{V} = (3x^2y)\hat{i} + (x^3)\hat{j}$. Determina el vector vorticidad e indica si el flujo es rotacional o irrotacional.

Paso 1: Identificar las componentes de la velocidad

$u = 3x^2y$
$v = x^3$
$w = 0$ (flujo bidimensional en el plano XY)

Paso 2: Calcular el rotacional ($\nabla \times \vec{V}$)

Para un flujo 2D en XY, las derivadas respecto a $z$ son cero, y $w=0$. El determinante se simplifica muchísimo, dejando solo la componente en $\hat{k}$:

\vec{\zeta} = \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right)\hat{k}

Calculamos las derivadas parciales:

$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3) = 3x^2$
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y) = 3x^2$

Paso 3: Resolver y concluir

\vec{\zeta} = (3x^2 - 3x^2)\hat{k} = 0\hat{k} = \vec{0}

Conclusión: Como el vector vorticidad es estrictamente cero en todas partes, el flujo es Irrotacional. Las partículas de fluido se trasladan y se deforman, pero no giran sobre su propio eje.

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