Convierte una integral de línea a lo largo de una curva cerrada $C$ (que suele ser un fastidio parametrizar) en una integral de superficie doble del rotacional del campo sobre cualquier superficie $S$ que tenga a $C$ como borde.
Nota vital: Si el campo es conservativo, su rotacional es cero. Por tanto, según Stokes, la integral de línea en cualquier curva cerrada será siempre cero (el trabajo para dar una vuelta completa es nulo).
Enunciado: Dado el campo vectorial $\vec{F}(x,y,z) = (-y)\hat{i} + (x)\hat{j} + (z)\hat{k}$. Calcula la integral de línea $\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$ siendo $C$ la circunferencia $x^2 + y^2 = 4$ en el plano $z=0$, recorrida en sentido antihorario.
Paso 1: Usar Stokes en lugar de parametrizar
En lugar de calcular la integral de línea, calcularemos el flujo del rotacional a través del disco plano $S$ que encierra la circunferencia ($x^2 + y^2 \leq 4, z=0$). El vector normal a esta superficie es $\hat{k}$.
Paso 2: Calcular el Rotacional de $\vec{F}$
Paso 3: Calcular la Integral de Superficie
Como $d\vec{S} = \hat{k} dA$:
La integral $\iint_S dA$ es simplemente el área del disco de radio $R=2$, es decir, $\pi(2)^2 = 4\pi$.