DÍA 6: AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

Derivación bajo el Signo Integral

Conocimientos Básicos Necesarios:

Variación Temporal del Flujo Vectorial

Si tenemos un campo vectorial $\vec{F}(x,y,z,t)$ que atraviesa una superficie fija $S$, el flujo cambia con el tiempo. Para saber a qué velocidad cambia ese flujo, derivamos la integral respecto al tiempo. Como la superficie es fija (no depende del tiempo), la derivada "entra" dentro de la integral y afecta solo al campo.

$$ \frac{d\Phi}{dt} = \frac{d}{dt} \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_S \frac{\partial \vec{F}}{\partial t} \cdot d\vec{S} $$

Esta es la base matemática exacta de la Ley de Faraday que verás en Física.

Ejercicio Tipo Examen

Enunciado: Dado un campo vectorial dependiente del tiempo $\vec{F} = (2t)\hat{i} + (t^2)\hat{j} + (0)\hat{k}$. Calcula la tasa de variación temporal del flujo que atraviesa un cuadrado de lado $L=3$ situado en el plano $YZ$ ($x=0$), cuyo vector normal es $\hat{i}$.

Paso 1: Identificar el campo y la superficie

Paso 2: Calcular el Flujo $\Phi(t)$ y luego derivarlo

Primero, calculamos el flujo para cualquier instante de tiempo $t$:

$$ \Phi(t) = \iint_S \vec{F} \cdot (\hat{i} dA) = \iint_S (2t) dA = 2t \iint_S dA $$ $$ \Phi(t) = 2t \times (9) = 18t $$

Ahora derivamos el resultado respecto al tiempo:

$$ \frac{d\Phi}{dt} = \frac{d}{dt}(18t) = 18 $$

Paso 3: Método Alternativo (Entrando la derivada)

Derivamos primero el campo: $\frac{\partial \vec{F}}{\partial t} = 2\hat{i} + 2t\hat{j} + 0\hat{k}$.

$$ \frac{d\Phi}{dt} = \iint_S (2\hat{i} + 2t\hat{j}) \cdot (\hat{i} dA) = \iint_S 2 dA = 2(9) = 18 $$

Ambos caminos llevan al mismo resultado. La tasa de cambio del flujo es constante (18 unidades por segundo).

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