DÍA 12: AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

Probabilidad Total y Teorema de Bayes

Conocimientos Básicos Necesarios:

Probabilidad básica ($P$).
Probabilidad condicionada $P(A|B)$ (Probabilidad de A dado que ha ocurrido B).

El Teorema de Bayes

Es la fórmula más importante de la estadística moderna. Permite calcular la probabilidad de una "Causa" dado que hemos observado un "Efecto", usando la probabilidad Total del efecto.

P(Causa_i | Efecto) = \frac{P(Efecto | Causa_i) \cdot P(Causa_i)}{P(Efecto Total)}

Donde $P(Efecto Total) = \sum P(Efecto | Causa_j) \cdot P(Causa_j)$ (Teorema de la Probabilidad Total).

Ejercicio Tipo Examen: Control de Calidad

Enunciado: En una fábrica, la Máquina A produce el 60% de los tornillos y la Máquina B el 40%. Se sabe que el 2% de los tornillos de la Máquina A son defectuosos, mientras que el 5% de los de la Máquina B lo son. Un inspector coge un tornillo al azar de la caja final y resulta ser defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya fabricado la Máquina B?

Paso 1: Definir los sucesos y probabilidades a priori

$P(A) = 0.60$ (Probabilidad de que sea de A).
$P(B) = 0.40$ (Probabilidad de que sea de B).
$P(D|A) = 0.02$ (Probabilidad de ser Defectuoso sabiendo que viene de A).
$P(D|B) = 0.05$ (Probabilidad de ser Defectuoso sabiendo que viene de B).

Paso 2: Calcular la Probabilidad Total de ser Defectuoso ($P(D)$)

Puede ser defectuoso viniendo de A o viniendo de B:

P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) $$ $$ P(D) = (0.02 \times 0.60) + (0.05 \times 0.40) = 0.012 + 0.020 = 0.032

El 3.2% de todos los tornillos de la fábrica son defectuosos.

Paso 3: Aplicar el Teorema de Bayes

Buscamos $P(B|D)$: Probabilidad de venir de B, sabiendo que ya es Defectuoso.

P(B|D) = \frac{P(D|B) \cdot P(B)}{P(D)} $$ $$ P(B|D) = \frac{0.05 \times 0.40}{0.032} = \frac{0.020}{0.032} = 0.625

Conclusión: Hay un 62.5% de probabilidad de que el tornillo roto sea culpa de la Máquina B. Aunque B produce menos tornillos en total, su alta tasa de fallos la convierte en la principal sospechosa. ¡Así razonan los algoritmos de IA médica!

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