Si una función $F(x,y,t)$ depende de la posición y el tiempo, y a su vez nos estamos moviendo ($x$ e $y$ dependen de $t$), la variación total de $F$ respecto al tiempo se calcula sumando la variación explícita más la variación por el movimiento:
En ingeniería abundan las ecuaciones donde la tasa de cambio de algo depende de cuánto de ese "algo" hay. Si la ecuación tiene la forma $\frac{dy}{dt} = f(y)g(t)$, podemos agrupar las "y" a un lado y las "t" al otro para integrar.
Enunciado: Resuelve la ecuación diferencial $\frac{dy}{dt} + k y = 0$, sabiendo que en el instante inicial $t=0$, el valor es $y(0) = Y_0$.
Paso 1: Separar variables
Pasamos todo lo que tenga $y$ a la izquierda y lo que tenga $t$ a la derecha:
Paso 2: Integrar ambos lados
Paso 3: Despejar $y(t)$ e imponer la condición inicial
Aplicamos la exponencial a ambos lados: $y(t) = e^{-kt+C} = e^C \cdot e^{-kt}$. Llamamos $A = e^C$, entonces $y(t) = A e^{-kt}$.
Si en $t=0$, $y=Y_0$: $Y_0 = A e^0 = A$. Por tanto, la solución final es:
(Esta ecuación rige cómo se vacía un depósito, cómo decae la radiactividad o cómo pierde temperatura una pieza de motor).