DÍA 7: MECÁNICA DE FLUIDOS

Ecuaciones de Navier-Stokes

Conocimientos Básicos Necesarios:

Derivada Material $\frac{D\vec{V}}{Dt}$ (Día 5).
El Laplaciano $\nabla^2$ (Día 7 Matemáticas).
Gradiente de Presión $\nabla P$.

Navier-Stokes (Flujo Incompresible)

Es la Segunda Ley de Newton ($F=ma$) dividida por el volumen. Suma las fuerzas de presión, gravedad y fricción viscosa para obtener la aceleración de la partícula de fluido.

\rho \frac{D\vec{V}}{Dt} = -\nabla P + \rho \vec{g} + \mu \nabla^2 \vec{V}

$\rho \frac{D\vec{V}}{Dt}$: Inercia (Masa x Aceleración material).
$-\nabla P$: Fuerza debida a la diferencia de presiones (empuje).
$\rho \vec{g}$: Fuerzas de volumen (gravedad).
$\mu \nabla^2 \vec{V}$: Fricción por viscosidad dinámica ($\mu$). Aquí es donde brilla el Laplaciano.

Ejercicio Clásico: Flujo entre Placas Paralelas (Couette-Poiseuille)

Enunciado: Tienes un fluido viscoso moviéndose entre dos placas infinitas fijas horizontales separadas por una distancia $h$. El flujo es estacionario y está completamente desarrollado (la velocidad $u$ solo depende de $y$). Demuestra cómo se simplifica Navier-Stokes en la dirección $x$.

Paso 1: Simplificar la Aceleración (Término Izquierdo)

Como el flujo es estacionario ($\frac{\partial}{\partial t} = 0$) y completamente desarrollado ($u$ no cambia en $x$, así que no hay aceleración convectiva), la derivada material es cero.

\rho \frac{D u}{D t} = 0

Paso 2: Simplificar las Fuerzas (Término Derecho)

No hay gravedad en la dirección horizontal $x$: $\rho g_x = 0$.
El Laplaciano de la velocidad $\nabla^2 u$ se simplifica porque $u$ solo depende de $y$. Por tanto, $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$ y $\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$. Solo queda $\frac{d^2 u}{d y^2}$.

Paso 3: Ecuación Resultante

Sustituyendo todo en la ecuación original en la dirección $x$:

0 = - \frac{\partial P}{\partial x} + \mu \frac{d^2 u}{d y^2}

Reordenando, nos queda una sencilla Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de segundo orden que puedes resolver integrando dos veces respecto a $y$:

\mu \frac{d^2 u}{d y^2} = \frac{dP}{dx}

Conclusión: En este tipo de flujos rectos, el empuje de la presión ($\frac{dP}{dx}$) se equilibra perfectamente con el frenado por fricción viscosa ($\mu \frac{d^2 u}{dy^2}$). El resultado al integrar esto es un perfil de velocidades con forma de parábola.

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